日本で英語を勉強したときに、A FEWというと「幾つかの」と覚えていた。今ネットでチェックしたら、「少しはある」と書いてあった。だからA FEW MINUTESというと、２，３分ぐらいかなと思っていた。
ところが、日常の感覚でいくとA FEWは６か７ぐらいじゃないかと思う。A FEWは「多い（こと）」の逆というより、A COUPLE OFの逆じゃないかな。つまり、少ないことの逆で、多いということではないけど、少なくはないということ。
と理解すればQUITE A FEWが多いという意味になることが腑に落ちます（「少なくない」という概念を強調しているのがQuite a few）。
元々、辞書で覚えたことが、日常生活の中であれ、違うなと感じた単語はそれほど多くないですけど、ま、これです。
あとCAP（野球帽）が実はHATとも呼ばれているとか。日本の中学ではまるでCAPとHATが対立したものと言う風に習ったけど、アメリカ人は普通にCAPのことをHATと言っている。
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同じような話で、日本ではseveralはsomeとかa fewとかと同じで、数個(２～３)と教わることが多いと思いますが、実際にはもう少し多い感覚(７～８個とか)らしいですね。カズさんの話は、a fewもseveralに近い感じという事でしょうかね。
A FEWのニュアンスなのですが、たぶん、相手に悪いなという気持ちがあるんじゃないかなと（と唐突ですが、説明します）。Give me a couple of minutesならちょっと待ってですが、Give me a few minutesだと、ちょっとだけど２，３分ではない、、という後ろめたさがあるんじゃないかな、、。同僚が、It may take a few daysと言ったときに、なんか、すっきりしないような心の動きを感じました。
確かに、日本で教えている様に「few=少ない」という風に解釈をしていると、quite a fewとかが納得できないですよね。fewを「ない」ではなく「ある」と捉えるだけで、楽に理解できます。
http://www.oxfordlearnersdictionaries.com/media/english/fullsize/h/hat/hats_/hats.jpg
黄色いやつが、明らかにcapみたいなつばが前に付いているのに、hatになっています。
私の解釈では、帽子＝hatで、その中で、つばのついたものをcapと呼ぶが、それは特定のversionに対する名前であり、帽子は全部hatなので、詳しく言う必要（声や文字だけでどんな帽子か正確に伝えたいとか）がない時はそれでいい、という事だと思います。